Statistika

Data Tunggal
Ukuran Pemusatan Data

• Rataan hitung




Apabila setiap data awal mengalami perubahan misal dengan setiap data dikali dengan p dirambah p maka rataannya menjadi :
pX₁+q, pX₂+q,... pX_n+q
Jumlah data : p(X₁+ X₂+ ...X_n) + nq dimana n = banyak data




• Rataan geometris


• Rataan harmonis


• Rataan kuadratis

Rataan harmonis ≤ rataan geometris ≤ rataan hitung

• Median
Median : nilai tengah data setelah diurutkan.

1. Jika ukuran data n ganjil,maka mediannya :


2. Jika ukuran data n genap, maka mediannya :


• Modus
Modus : nilai yang paling sering muncul

Ukuran Letak Kumpulan Data

• Kuartil
Membagi data menjadi empat bagian sama banyak setelah diurutkan. Kuartil ada tiga, yaitu :
Kuartil bawah (Q₁), kuartil tengah/median (Q₂), kuartil atas (Q₃)
Misalkan X₁, X₂,...X_n adalah data berukuran n yang telah diurutkan. Q_m adalah kuartil yang dicari, dengan m = 1,2,3. Menentukan Q_m :

1. Hitunglah ¼ nm
2. Jika ¼ nm merupakan bilangan bulat, misalkan a, maka Q_m = ½(X_a + X_{a + 1}), yaitu Q_m terletak antara X_a dan X_{a + 1}
3. Jika ¼ nm bukan bilangan bulat tapi terletak antara bilangan bulat a dan a + 1, maka Q_m = X_{a + 1}
• Statistik lima serangkai
Dari suatu data terurut X₁, X₂,...X_n dapat ditentukan :

1. datum yang nilainya terkecil = X_min = X₁ disebut juga statistik minimum.
2. datum yang nilainya terbesar = X_maks = X_n disebut juga statistik maksimum .
3. median = Q₂
4. kuartil pertama = Q₁
5. kuartil ketiga = Q₃
Gabungan dari kelima statistik di atas disebut statistik lima serangkai dan ditampilkan dalam tabel berikut :


• Rataan kuartil dan rataan tiga
Rataan kuartil :

Rataan tiga :


• Desil
Desil adalah datum yang membagi data terurut menjadi sepersepuluh - sepersepuluh bagian.
D₁ disebut desil pertama, sebanyak 10% data bernilai lebih kecil atau sama dengan D₁
Misalkan X₁, X₂,...X_n adalah data berukuran n yang telah diurutkan dengan D_m adalah hasil yang dicari, dengan m = 1,2,...,9
Menentukan D_m :

1. Hitunglah :
2. Jika merupakan bilangan bulat, misalkan a maka
3. Jika bukan bilangan bulat,tapi terletak antara bilangan bulat a dan a +1, maka

Ukuran Penyebaran Data

• Jangkauan data (range data)
Nilai yang diperoleh jika nilai data terbesar di kurangi nilai data terkecil. Semakin besar jangkauan maka penyebaran data semakin tinggi.

Apabila setiap data awal mengalami perubahan, semisal setiap data dikali p kemudian dikurangi q, maka hubungan jangkauan awal dengan jangkauan akhir adalah sebagai berikut :
pX₁ -q, pX₂ -q,...pX_n -q

J₁= jangkauan awal data
J₂= jangkauan kedua data setelah mengalami perubahan

1. Jangakauan antar kuartil (hamparan)


2. Jangkauan semi antar kuartil (simpangan kuartil)


3. Langkah


4. Pagar dalam


5. Pagar luar

Untuk setiap data yang terletak di antara batas - batas pagar dalam dan pagar luar Q₁ - L ≤ X_i ≤ Q₃ + L merupakan nilai data yang normal. Untuk setiap data yang kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar merupakan data yang tak normal (pencilan).

• Simpangan (deviasi) rata - rata
ukuran penyebaran data yang mencerminkan penyebaran tiap nilai datum terhadap nilai rataan hitungnya..

Apabila setiap data awal mengalami perubahan, semisal setiap data dikali p kemudian ditambah q, maka hubungan simpangan rata - rata awal dengan simpangan rata - rata akhir adalah sebagai berikut :
Rataan yang kita pakai :





• Ragam dan Simpangan Baku
Menjelaskan penyebaran data di sekitar rataan, karena rataan adalah nilai yang mewakili data dan menjadi fokus utama.

Rumus praktis Ragam :


Untuk setiap data dengan ragam (S₁)² jika setiap data dikalikan p kemudian ± q maka ragamnya ,menjadi :

Simpangan baku :

Untuk setiap data dengan simpangan baku S₁, jika setiap data dikalikan p kemudian ± q maka simpangan bakunya menjadi :

Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

• Diagram Garis


• Diagram Kotak Garis


• Diagram batang daun
Misalkan diketahui suatu data : 39 11 12 24 25 44 8 28 15 26 32 21 5 12 24 28 13 21 15 28


• Histrogram dan poligon frekuensi


• Ogif (kurva frekuensi kumulatif)

Data Berkelompok
Distribusi Frekuensi Berkelompok

Istilah - istilah distribusi frekuensi berkelompok yang perlu dipahami:

• Kelas
Kelas 65 - 67 mencakup data dari 65 sampai dengan 67

• Batas kelas
Kelas pertama 65 - 67, batas bawahnya 65 dan batas atasnya 67.

• Tepi kelas
Tepi bawah = batas bawah - 0,5
Tepi atas = batas atas + 0,5
Kelas pertama 65 - 67, tepi bawahnya 65 - 0,5 = 64,5, tepi atasnya 67 + 0,5 = 67,5

• Panjang kelas/lebar kelas/interval kelas
Panjang kelas = tepi atas - tepi bawah

• Titik tengah kelas/ nilai tengah kelas
Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah)

Cara membuat Daftar Distribusi frekuensi data berkelompok :

1. Tentukan jangkauannya J = X_maks - X_min
2. Tentukan banyak kelas, menggunakan kaidah empiris sturgess k = 1 + 3,3 log n, dengan k = banyak kelas dan n = banyak data
3. Tentukan panjang kelas


4. Dengan menggunakan panjang kelas yang diperoleh pada step 3, tetapkanlah kelas - kelasnya sedemikian sehingga mencakup semua nilai data.
5. Tentukanlah frekuensi tiap kelas dengan system turus

Menyusun Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif :
Ada dua macam daftar distribusi frekuensi kumulatif, yaitu :

1. daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari
2. daftar distribusi frekuensi kumulatif lebih dari

Contoh diketahui tabel seperti di bawah ini :

Kemudian tambahkan lajur tepi bawah dan lajur tepi atas pada tabel tersebut

Setelah itu susun daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari


Dari daftar frekuensi kumulatif kurang dari kita buat ogif positif

Dari daftar frekuensi kumulatif lebih dari kita buat ogif negatif

Ukuran Pemusatan Data

• Rataan hitung





Menghitung rataan dengan menggunakan rataan sementara :

1. cara simpangan rataan




2. cara pengkodean (coding)




• Modus

L = tepi bawah frekuensi modus
δ₁ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
δ₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
c = panjang kelas

• Median / kuartil tengah

L₂ = tepi bawah kelas yang memuat median atau kuartil tengah Q₂
(∑f)₂ = jumlah frekuensi sebelum median atau kuartil tengah Q₂
f₂ = frekuensi kelas yang memuat median atau kuartil tengah Q₂

Ukuran Letak Kumpulan Data

• Kuartil bawah

L₁ = tepi bawah yang memuat kuartil bawah Q₁
(∑ f)₁ = jumlah frekuensi sebelum kuartil bawah Q₁
f₁ = frekuensi kelas yang memuat kuartil bawah Q₁

• Kuartil atas

L₃ = tepi kelas yang memuat kuartil atas Q₃
(∑ f)₃ = jumlah frekuensi sebelum kuartil atas Q₃
f₃ = frekuensi kelas yang memuat kuartil atas Q₃

• Desil

i = 1,2,3,....9
D_i = desil ke i
L_i = tepi bawah yang memuat desil ke i
(∑ f)_i = jumlah frekuensi sebelum desil ke i
f_i = frekuensi kelas yang memuat desil ke i
n = banyak data
c = panjang kelas

• Persentil
Hubungan antara persentil, desil, dan kuartil sebagai berikut :
P₅₀ = D₅ = Q₂ = median
P₂₅ = Q₁ dan P₇₅ = Q₃

i = 1,2,3,...99
P_i = persentil ke i
L_i = tepi bawah kelas yang memuat persentil ke i
(∑ f)_i = jumlah frekuensi sebelum persentil ke i
f_i = frekuensi kelas yang memuat persentil ke i
n = banyak data
c = panjang kelas

Ukuran Penyebaran Data

• Jangkauan antar kuartil/ rentang antar kuartil/ hamparan


• Simpangan kuartil/ jangkauan semi antar kuartil


• Simpangan rata - rata

n = banyak data
f_i = frekuensi kelaske i
x_i = titik tengah kelas i
r = banyak kelas

• Ragam dan Simpangan baku


n = banyak data
f_i = frekuensi kelas ke i
x_i = titik tengah kelas ke i
r = banyak kelas
Rumus praktis dengan pengkodean :

Latihan Soal dan Pembahasannya

1. Suatu data memiliki rata - rata 5 dan rentang 4. Jika setiap nilai dalam data dikalikan dengan p, kemudian ditambah dengan q didapat data baru dengan rata - rata 19 dan rentang 12. Nilai dari 3p - q =....


Kita substitusikan nilai p ke dalam persamaan pertama didapat nilai q = 4. Maka nilai 3p - q = 3(3)- 4 = 5

2. Perhatikan tabel berikut :

Nilai Ujian	3	4	5	6	7	8	9
Frekuensi	3	5	12	17	14	6	3

Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata - rata matematika ditambah 1. Tentukan banyak siswa yang lulus..

Kita cari dulu rata - rata dengan rataan sementara :



Maka dari data di atas diperoleh jumlah siswa yang lulus = 6 + 3 = 9 orang

3. Umur rata - rata dari suatu kelompok yang terdiri dari dokter dan jaksa adalah 40 tahun. Jika rataan umur para dokter 35 tahun dan rataan umur para jaksa 50 tahun maka perbandingan banyak jaksa dan banyak dokter adalah....
Misal kita anggap banyak dokter = d , banyak jaksa = j, maka :




4. Kumpulan dari empat angka memiliki mean 2 dan simpangan baku √2. Kumpulan dari enam angka lainnya memiliki mean 6 dan simpangan baku √5. Jika kedua kumpulan angka digabung, hitung mean dan simpangan baku dari kumpulan data yang baru..
Penulis akan gunakan rumus praktis ragam, dari data di atas :








5. Apabila sejumlah a data mempunyai variansi sampel 20, (a + b) data mempunyai variansi sampel 30, serta b data mempunyai variansi sampel 50, tentukan perbandingan antara a dan b !
Perhatikan soal no 5 dengan no 4, lihat perbedaannya...Pada soal no 5, tidak diketahui banyak data serta rataannya....Rumus yang dipakai :







6. Tinggi badan (dalam cm) dari 14 orang siswa kelas 11 B adalah :
173 132 192 178 181 189 184 145 171 169 166 154 175 163
Buatlah diagram kotak garis data tinggi badan siswa kelas 11 B

Data diurutkan dulu :
132 145 154 163 166 169 171 173 175 178 181 184 189 192






dari keterangan di atas terdapat nilai pencilan, pencilannya 132 .


7. Nilai ulangan matematika disajikan pada tabel berikut. Jika median = 73⅙, tentukan :

Nilai	frekuensi
45 - 52 53 - 60 61 - 68 69 - 76 77 - 84 85 - 92 93 - 100	2 4 x 12 8 6 y

Jika frekuensi totalnya 40 , tentukan :

1. x dan y
2. batas nilai terendah bila hanya 10 % yang dianggap lulus
3. banyak siswa yang tidak lulus, bila batas nilai yang dianggap lulus > 57
Median terletak pada kelas 69 - 76, maka :


Batas terendah bila yang lulus hanya 10 %, ada dua cara :

1. Cari jumlah siswa yang tidak lulus, yaitu : 90% × 40 = 36 siswa
36 siswa berarti terletak pada kelas 85 - 92 :



2. cari jumlah siswa yang lulus, yaitu : 10% × 40 = 4 siswa
Yang sudah pasti lulus 1 anak terletak pada kelas 93 - 100, berarti kita tinggal pilih 3 anak dari kelas 85 - 92
Misal nilai batas kelulusan X :


Mencari siswa yang tidak lulus, jika nilai kelulusan > 57

Maka x = 4, dibulatkan ke bawah, karena kalau dibulatkan ke atas 5, maka nilai ke 5 > 57

8. Perhatikan tabel berikut

Nilai	Frekuensi
66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 86 - 90 91 - 95 96 - 100	3 12 x 36 24 y 9

1. Jika modus = 83, maka hitunglah x dan y
2. Tentukan statistik lima serangkai dan bagannya
Modus = 83, terletak pada kelas 81 - 85 :



Statistik minimum X_min = 65,5
Statistik maksimum X_maks = 100,5




9. Hitung simpangan baku dari data berkelompok berikut ini :

Panjang (mm)	Banyak datum
35 - 39 40 - 44 45 - 49 50 - 54 55 - 59 60 - 64	1 4 12 23 7 3




Xi	f	Ui	fiUi	fiUi²
37 42 47 52 57 62	1 4 12 23 7 3 ∑fi = 50	-3 -2 -1 0 1 2	-3 -8 -12 0 7 6 ∑fiUi = -10	9 16 12 0 7 12 ∑fiUi² = 56






10. Tentukan Median dan kuartil dari data yang dinyatakan dengan poligon frekuensi kumulatif berikut :


Kuartil bawah = ¼n = ¼ × 50 = 12,5...

Kuartil tengah/ median = ½n = ½ × 50 = 25...

Kuartil atas = ¾n = ¾ × 50 = 37,5...