Sabtu, 22 Juni 2013

Peluang

Kaidah pencacahan
  1. Aturan perkalian
  2. Beberapa contoh soal berikut ini :
    1. Berapa banyak bilangan - bilangan bulat positif genap, yang terdiri dari 3 angka dan yang dapat disusun dari angka - angka 3,4,5,6, dan 7?
    2. Hitung banyak cara menyusun bilangan ribuan dengan angka - angka 2,3,4,5,6,7,9,tanpa ada angka - angka yang boleh diulang. Berapa banyak dari bilangan ini yang :
      1. lebih kecil dari 5000
      2. di antara 3000 dan 9000
      3. bilangan ganjil
    3. Tersedia angka - angka 0,1,2,4,5, dan 7. Berapa banyak bilangan :
      1. ribuan dapat dibuat dari angka - angka tersebut, jika tidak boleh ada angka yang diulang?
      2. kurang dari 570, jika tidak boleh ada angka yang diulang?
      3. antara 20 dan 450, tidak berulang
    4. Kota A dan B dihubungkan dengan tiga jalan, kota B dan C dihubungkan dengan dua jalan, sedangkan kota C dan D dihubungkan dengan empat jalan. Banyaknya rute yang mungkin dapat dilalui dari kota A menuju kota D adalah...
    5. Dari kota A ke B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari A ke C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Bila saat kembali dari A ke B, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang itu adalah..
  3. Faktorial
  4. Hasil kali bilangan asli berurutan disebut faktorial..
    Untuk setiap bilangan asli n, maka n faktorial didefinisikan sebagai :
    n ! = n × ( n - 1 ) × ( n - 2 ) × 3 × 2 × 1
    Catatan :
    1 ! = 1 dan 0 ! = 1
    Beberapa contoh soal berikut :
    1. Buktikan bahwa untuk n ≥ 3, maka n!(n - 3)! = {(n - 3)!}².(n³ - 3n² + 2n)
  5. Permutasi
  6. Nilai suatu permutasi :

    Jika diketahui n unsur, diantaranya ada k unsur yang sama (k ≤ n) maka banyaknya permutasi yang berlainan dari n unsur tersebut ditentukan oleh formula :

    Jika dari n unsur yang tersedia terdapat n1 unsur yang sama, n2 unsur yang sama, dan n3 unsur yang sama,maka banyaknya permutasi yang berlainan dari n unsur itu ditentukan oleh formula :

    Bila tersedia n unsur yang berbeda, maka banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan oleh formula :

    Bila tersedia n unsur berbeda,maka banyak permutasi berulang r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan oleh formula :

    Lihat beberapa contoh soal berikut ini :
    1. Sepuluh siswa yang terdiri atas 4 putri dan 6 putra duduk pada 10 kursi berderet yang tersedia. Dalam berapa banyak carakah siswa ini dapat duduk dengan urutan yang berbeda? tentukan juga banyak cara duduk dengan urutan berbeda jika :
      1. Dua putra harus duduk di ujung kiri
      2. Dua kursi di ujung harus diduduki oleh putra
      3. hanya boleh satu putra dan satu putri yang duduk berdampingan
      4. Siswa putri berkelompok
      5. Tidak boleh ada 2 siswa putri tertentu duduk berdampingan
    2. Sebuah keluarga terdiri atas 4 pria dan 2 wanita. Dengan berapa cara mereka dapat duduk dengan urutan berbeda pada 6 kursi yang :
      1. duduk bebas berderet
      2. melingkar, 2 wanita berkelompok
      3. duduk bebas melingkar
    3. Sepuluh bendera dari tim sepakbola terdiri atas 4 warna merah, 3 warna kuning, 2 warna hijau, dan 1 warna biru. Kesepuluh bendera tersebut akan dikibarkan berjajar. Berapa banyak cara berbeda untuk menjajarkan kedelapan bendera tersebut?
    4. Ada berapa cara terbentuk kalung jika dibuat dengan merangkai tujuh bola manik - manik yang berbeda warna dengan seutas benang?
    5. Dalam suatu rapat yang diikuti oleh 10 orang peserta akan ditempatkan pada kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Banyak susunan yang dapat terjadi adalah..
  7. Kombinasi
  8. Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah suatu pilihan dari n unsur tanpa memperhatikan urutannya.
    Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan dinotasikan dengan :

    Lihat beberapa contoh soal berikut :
    1. Diketahui himpunan A = {p, q, r, s, t}. Hitunglah banyak himpunan bagian dari A yang beranggotakan :
      1. 3 unsur
      2. lebih atau sama dengan 4 unsur
      3. paling banyak 3 unsur
    2. Sebuah organisasi beranggotakan 25 orang, 4 diantaranya berprofesi sebagai dokter. Dalam berapa carakah sebuah panitia dapat dipilih yang beranggotakan 3 orang termasuk sekurang - kurangnya 1 dokter !
    3. Seorang siswa diminta mengerjakan 7 soal dari 10 soal yang teredia, dengan syarat nomor 1 sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Berapa banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa tersebut?
    4. Dari 7 siswa putra dan 5 siswa putri akan dipilih 6 siswa untuk dikirim ke Jepang dalam rangka pertukaran siswa. Berapa banyak pilihan berbeda dapat diperoleh jika :
      1. tidak ada pembatasan
      2. dipilih 4 putra dan 2 putri
      3. paling sedikit ada dua putri
    5. Pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 6 kali, ada berapa banyak :
      1. sisi gambar muncul 3 kali
      2. sisi gambar muncul 4 kali atau lebih
    6. How many triangles can be formed from 10 point where no 3 point are colinear?
    7. Find the number of different arrangements of money : Rp 500, Rp 1000, Rp 20.000.....
    8. Berapa banyak diagonal yang terdapat pada segi 5 ?
  9. Binomium Newton
  10. Penjabaran bentuk (x +y)n melibatkan konsep kombinasi, seperti berikut ini :

    Dari penjabaran binom Newton diatas :
    suku ke 1 : C0nxny0
    suku ke (r + 1) :

    Misal suku ke 4 berarti r = 3..
    Lihat beberapa contoh soal berikut ini :
    1. Tentukan suku ke enam dari :

    2. Koefisien dari x12 dari perpangkatan (3x² + x)7 adalah....
    3. Pada penjabaran binom (5 + 2x)n dengan n bilangan asli, diketahui bahwa koefisien suku x² sama dengan dua kali koefisien suku x untuk n = ...
Peluang suatu kejadian dan komplemennya
  1. Ruang Sampel Percobaan
  2. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Banyaknya anggota atau unsur dalam ruang sampel dinotasikan dengan n(S) atau n. Titik sampel atau titik contoh adalah unsur - unsur yang terletak di dalam ruang sampel..
    Lihat contoh beberapa soal berikut ini :
    1. Pada pelemparan dua buah uang logam, tentukan hasil yang mungkin diperoleh dengan cara :
      1. diagram pohon
      2. tabel
    2. Tentukan ruang sampel dari pelemparan tiga mata uang logam dengan tabel
  3. Peluang Suatu Kejadian
  4. Penentuan peluang suatu kejadian dapat dilakukan dalam 3 cara :
    1. pendekatan frekuensi relatif atau nisbi
    2. pendekatan definisi peluang klasik
    3. penggunakan ruang sampel
    Penentuan peluang dengan pendekatan frekuensi relatif Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali. Jika kejadian acak A muncul sebanyak k kali, maka frekuensi relatif kejadian A ditentukan oleh formula :

    Contoh soal :
    1. Sebuah dadu dilempar 50 kali. Tabel berikut menunjukkan hasil pelemparan tersebut kemudian tentukan frekuensi relatif ,muncul mata dadu bilangan prima..

    Penentuan peluang dengan definisi peluang klasik Misalkan kejadian A dapat terjadi dalam k cara dari keseluruhan n cara yang mempunyai kemungkinan sama, maka peluang kejadian A ditentukan oleh :

    Contoh soal :
    1. Sebuah kantong berisi 6 bola biru, 4 putih, dan 8 merah. Apabila 3 bola diambil secara acak, hitunglah peluang bahwa yang terambil :
      1. semua biru
      2. semua merah
      3. 2 putih dan 1 biru
      4. satu dari setiap warna
      5. bola dalam urutan biru, putih, merah
    Penentuan peluang dengan ruang sampel Dalam suatu percobaan acak, bila kejadian - kejadian mempunyai kesempatan yang sama, maka peluang dari kejadian A ditentukan oleh :

    Contoh soal :
    1. Dua buah dadu bermata enam dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Hitunglah nilai peluang, kejadian - kejadian berikut ini :
      1. kejadian mumcul jumlah kedua mata dadu adalah 7
      2. kejadian muncul jumlah kedua mata dadu adalah 5
      3. kejadian muncul mata dadu kedua - duanya genap
  5. Kisaran Nilai Peluang
  6. 0 ≤ P(A) ≤ 1
    Nilai P(A) = 0 disebut peluang kemustahilan. Nilai P(A) = 1 disebut peluang kepastian..
    Contoh soal :
    1. Sebuah kotak berisi 5 bola merah. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak itu. Berapa peluang terambil bola berwarna merah dan berapa peluang terambil bola berwarna hijau?
    Peluang komplemen suatu kejadian
    Berdasarkan definisi peluang berdasarkan ruang sampel dapat dituliskan :

    Contoh soal :
    1. Peluang A memenangkan pertandingan catur melawan B adalah ⅓. Peluang bahwa A akan memenangkan paling sedikit satu dari 3 pertandingan itu adalah....
    2. Dalam pemilihan direktur pada sebuah kantor ada tiga calon A, B, dan C. Jika rasio A akan menang adalah 7 : 5, rasio B akan menang adalah 1 : 3, maka rasio C akan menang adalah....
  7. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

  8. Contoh soal :
    1. Bila tidak hujan, seorang penjual es campur mendapat untung Rp 50.000 sehari. Bila hujan maka ia akan rugi Rp 12.000. Bila peluang hujan suatu hari adalah P(A) = ¼, maka keuntungan yang dpat diharapkan pada hari itu sama dengan...
Peluang kejadian majemuk
  1. Menghitung Peluang Gabungan Dua Kejadian
  2. Misal A dan B adalah dua kejadian sembarang yang terdapat dalam ruang contoh S, maka peluang kejadian A ∪ B sama dengan..

    Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, maka peluang gabungan dua kejadian itu sama dengan :

    Dua kejadian yang saling bebas jika muncul atau tidak munculnya kejadian A tidak terpengaruh oleh muncul atau tidak munculnya kejadian B, atau sebaliknya....
    Kejadian A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika :

    Pada dua kejadian acak A dan B, peluang terjadinya kejadian B pada waktu kejadian A telah terjadi disebut kejadian bersyarat terjadi B pada waktu A terjadi, dan dinotasikan : P(B|A)..
    Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul ditentukan oleh :

    Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul ditentukan oleh :

    Contoh soal :
    1. Hasil survey yang dilakukan pada suatu wilayah terhadap kepemilikan mobil dan sepeda diperoleh data sebagai berikut :
      10% penduduk tidak memiliki mobil
      40% penduduk memiliki sepeda,
      5 % tidak memiliki mobil tetapi memiliki sepeda
      Kalau dari wilayah itu diambil satu orang secara acak, berapa peluang ia memiliki mobil tetapi tidak memiliki sepeda?
    2. Bila P(A) = 0,70, P(B) = 0,75, dan P(A ∪ B) = 0,90, hitunglah P (A ∩ B) dan P(A ∩ B')..
    3. Kotak I berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Kotak II berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Bila sebuah bola diambil dari masing - masing kotak, tentukanlah peluang bahwa :
      1. kedua bola berwarna putih
      2. kedua bola berwarna hitam
    4. Diketahui A dan B dua kejadian yang saling bebas, Peluang kejadian A dan B adalah ⅛ dan peluang kejadian bukan A dan bukan B adalah ⅜. Hitunglah P(A) dan P(B)..
    5. Misalkan peluang luluas UAN dari A,B, dan C masing - masing adalah ¾, ⅔, dan ⅔. Hitunglah setiap peluang berikut :
      1. peluang ketiganya lulus UAN
      2. peluang hanya 2 orang yang lulus UAN
      3. peluang paling sedikit 1 orang lulus UAN

2 komentar:

  1. kalo boleh tau jawaban contoh soal no 5 yang C berapa ya? mohon penjelasannya

    BalasHapus
  2. karena yang ditanyakan peluang paling sedikit 1 orang yang lulus, maka kita cari dulu peluang ketiganya tidak lulus...(1/4*1/3*1/3) = 1/36...setelah itu (1 - 1/36) = 35/36

    BalasHapus