Peluang

Kaidah pencacahan

1. Aturan perkalian
Beberapa contoh soal berikut ini :

1. Berapa banyak bilangan - bilangan bulat positif genap, yang terdiri dari 3 angka dan yang dapat disusun dari angka - angka 3,4,5,6, dan 7?

ratusan	puluhan	satuan
3,4,5,6,7	3,4,5,6,7	4, 6
5	5	2

Banyaknya bilangan yang dapat terbentuk : 5 × 5 × 2 = 50 cara...soal di atas dianggap boleh berulang karena di dalam soal tidak ada ketentuan

2. Hitung banyak cara menyusun bilangan ribuan dengan angka - angka 2,3,4,5,6,7,9,tanpa ada angka - angka yang boleh diulang. Berapa banyak dari bilangan ini yang :
1. lebih kecil dari 5000
2. di antara 3000 dan 9000
3. bilangan ganjil

ribuan	ratusan	puluhan	satuan
2,3,4	2,3,4,5,6,7,9	2,3,4,5,6,7,9	2,3,4,5,6,7,9
3	7	7	7


Banyak cara penyusunan bilangan lebih kecil dari 5000 adalah 3 × 7 × 7 × 7 = 1029


ribuan	ratusan	puluhan	satuan
3,4,5,6,7	2,3,4,5,6,7,9	2,3,4,5,6,7,9	2,3,4,5,6,7,9
5	7	7	7


Banyak cara penyusunan bilangan di antara 3000 dan 5000 adalah 5 × 7 × 7 × 7 = 1715


ribuan	ratusan	puluhan	satuan
2,3,4,5,6,7,9	2,3,4,5,6,7,9	2,3,4,5,6,7,9	3,5,7,9
7	7	7	4


Banyak cara penyusunan bilangan ganjil adalah 7 × 7 × 7 × 4 = 1372

3. Tersedia angka - angka 0,1,2,4,5, dan 7. Berapa banyak bilangan :
1. ribuan dapat dibuat dari angka - angka tersebut, jika tidak boleh ada angka yang diulang?
2. kurang dari 570, jika tidak boleh ada angka yang diulang?
3. antara 20 dan 450, tidak berulang

ribuan	ratusan	puluhan	satuan
1,2,4,5,7	0,2,4,5,7	2,4,5,7	4,5,7
5	5	4	3


Banyak cara penyusunan bilangan ribuan jika tidak ada angka yang diluang adalah 5 × 5 × 4 × 3 = 300
Untuk bilangan yang kurang dari 570, banyaknya cara harus dimulai dari 1 angka, 2 angka, dan akhirnya 3 angka yang kurang dari 570, kemudian dijumlah
Untuk bilangan 1 angka : 0,1,2,4,5,7 banyak cara 6


puluhan	satuan
1,2,4,5,7	0,2,4,5,7
5	5

Untuk bilangan 2 angka banyak cara 5 × 5 = 25
Untuk bilangan 3 angka, kita mulai dari bilangan yang kurang dari 500...


ratusan	puluhan	satuan
1,2,4	0,2,4,5,7	2,4,5,7
3	5	4

Untuk bilangan 3 angka kurang dari 500 adalah 3 × 5 × 4 = 60 cara..
Bilangan antara 500 - 570..


ratusan	puluhan	satuan
5	0,1,2,4	1,2,4,7
1	4	4

Bilangan antara 500 - 570 adalah 1 ×4 × 4 = 16 cara..
Jadi total banyak cara 6 + 25 + 60 + 16 = 107 cara
Untuk bilangan antara 20 dan 450,langkah pertama kitan hitung dulu 20 - 30, setelah itu 30 - 100, kemudian 100 - 400, akhirnya 400 - 450


puluhan	satuan
2	1,4,5,7
1	4

Banyak cara bilangan antara 20 - 30 adalah 1 × 4 = 4 cara


puluhan	satuan
4,5,7	0,1,2,5,7
3	5

Banyak cara bilangan antara 30 - 100 adalah 3 7times; 5 = 15 cara


ratusan	puluhan	satuan
1,2	0,2,4,5,7	2,4,5,7
2	5	4

Banyak cara bilangan antara 100 - 400 adalah 2 × 5 × 4 = 40 cara...


ratusan	puluhan	satuan
4	0,1,2	1,2,5,7
1	3	4

Banyak cara bilangan antara 400 - 450 adalah 1 × 3 × 4 = 12 cara..
Total banyak cara antara 20 - 450 adalah 4 + 15 + 40 + 12 = 71 cara

4. Kota A dan B dihubungkan dengan tiga jalan, kota B dan C dihubungkan dengan dua jalan, sedangkan kota C dan D dihubungkan dengan empat jalan. Banyaknya rute yang mungkin dapat dilalui dari kota A menuju kota D adalah...
3 × 2 × 4 = 24 cara..

5. Dari kota A ke B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari A ke C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Bila saat kembali dari A ke B, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang itu adalah..
4 × 3 × 2 × 3 = 72 cara..

2. Faktorial
Hasil kali bilangan asli berurutan disebut faktorial..
Untuk setiap bilangan asli n, maka n faktorial didefinisikan sebagai :
n ! = n × ( n - 1 ) × ( n - 2 ) × 3 × 2 × 1
Catatan :
1 ! = 1 dan 0 ! = 1
Beberapa contoh soal berikut :

1. 


2. 
Ubah dulu bentuk soal supaya mudah menyederhanakannya...





Karena n merupakan bilangan bulat, maka jawabannya n = 4..

3. Buktikan bahwa untuk n ≥ 3, maka n!(n - 3)! = {(n - 3)!}².(n³ - 3n² + 2n)
Ruas kiri kita ubah bentuknya....




3. Permutasi
Nilai suatu permutasi :

Jika diketahui n unsur, diantaranya ada k unsur yang sama (k ≤ n) maka banyaknya permutasi yang berlainan dari n unsur tersebut ditentukan oleh formula :

Jika dari n unsur yang tersedia terdapat n₁ unsur yang sama, n₂ unsur yang sama, dan n₃ unsur yang sama,maka banyaknya permutasi yang berlainan dari n unsur itu ditentukan oleh formula :

Bila tersedia n unsur yang berbeda, maka banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan oleh formula :

Bila tersedia n unsur berbeda,maka banyak permutasi berulang r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan oleh formula :

Lihat beberapa contoh soal berikut ini :

1. Sepuluh siswa yang terdiri atas 4 putri dan 6 putra duduk pada 10 kursi berderet yang tersedia. Dalam berapa banyak carakah siswa ini dapat duduk dengan urutan yang berbeda? tentukan juga banyak cara duduk dengan urutan berbeda jika :
1. Dua putra harus duduk di ujung kiri
2. Dua kursi di ujung harus diduduki oleh putra
3. hanya boleh satu putra dan satu putri yang duduk berdampingan
4. Siswa putri berkelompok
5. Tidak boleh ada 2 siswa putri tertentu duduk berdampingan

L	L
6	5	8	7	6	5	4	3	2	1

Jadi banyak cara apabila dua putra harus duduk diujung kiri : 6 × 5 × P(8,8)
Pada pertanyaan b, hanya diberitahukan 2 kursi diujung, berarti bisa di ujung kiri atau di ujung kanan


L	L
6	5	8	7	6	5	4	3	2	1

Jadi banyak cara apabila dua putra harus duduk diujung : 6 × 5 × P(8,8) × 2


L	L	L	L	L	L	W	W	W	W
6	5	4	3	2	1	4	3	2	1

Jadi banyak cara apabila hanya boleh satu putra dan satu putri yang duduk berdampingan maka 6! × 4! × 2...angka 2 menunjukkan posisi para wanita dan laki - laki bisa dibalik..


W	W	W	W
4	3	2	1

Jadi banyak cara apabila siswa putri berkelompok : 4! × 7!
Untuk penyelesaian e, kita harus cari dulu banyak cara 2 siswi tertentu berdampingan..


W2	W1
2	1

Banyak cara untuk 2 siswi tertentu selalu berdampingan : 2! × 9!..maka banyaknya cara dimana 2 siswi tertentu tidak boleh duduk berdampingan adalah : 10! - (2! × 9!)..

2. Sebuah keluarga terdiri atas 4 pria dan 2 wanita. Dengan berapa cara mereka dapat duduk dengan urutan berbeda pada 6 kursi yang :
1. duduk bebas berderet
2. melingkar, 2 wanita berkelompok
3. duduk bebas melingkar
Banyak cara untuk duduk bebas berderet : 6!
Karena melingkar, kita cari 2 wanita berkelompok dulu, nanti format tempatnya kita kurangi 1..

W	W
2	1
Maka banyaknya cara 2 wanita berkelompok, melingkar adalah : 2 × 1 × (5 - 1)!= 2 × 1 × 4!
Banyak cara untuk duduk bebas melingkar : (6 - 1)! = 5!

3. Sepuluh bendera dari tim sepakbola terdiri atas 4 warna merah, 3 warna kuning, 2 warna hijau, dan 1 warna biru. Kesepuluh bendera tersebut akan dikibarkan berjajar. Berapa banyak cara berbeda untuk menjajarkan kedelapan bendera tersebut?


4. Ada berapa cara terbentuk kalung jika dibuat dengan merangkai tujuh bola manik - manik yang berbeda warna dengan seutas benang?


5. Dalam suatu rapat yang diikuti oleh 10 orang peserta akan ditempatkan pada kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Banyak susunan yang dapat terjadi adalah..
Banyak cara untuk duduk bebas melingkar : (10 - 1)! = 9!

4. Kombinasi
Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah suatu pilihan dari n unsur tanpa memperhatikan urutannya.
Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan dinotasikan dengan :

Lihat beberapa contoh soal berikut :

1. Diketahui himpunan A = {p, q, r, s, t}. Hitunglah banyak himpunan bagian dari A yang beranggotakan :
1. 3 unsur
2. lebih atau sama dengan 4 unsur
3. paling banyak 3 unsur

lebih atau sama dengan 4 unsur, berarti bisa 4 unsur atau 5 unsur...

paling banyak 3 unsur berarti bisa 0 unsur, 1 unsur, 2 unsur, atau 3 unsur..


2. Sebuah organisasi beranggotakan 25 orang, 4 diantaranya berprofesi sebagai dokter. Dalam berapa carakah sebuah panitia dapat dipilih yang beranggotakan 3 orang termasuk sekurang - kurangnya 1 dokter !
ada 2 cara :....cara pertama cari 1 dokter dan 2 bukan dokter atau 2 dokter dan 1 bukan dokter atau ketiganya dokter...

ada 2 cara :....cara kedua, cari ketiga - tiganya sembarang dari 25 orang kemudian hasilnya dikurangi ketiga - tiganya bukan dokter....

cara yang kedua hanya bisa apabila dalam soal ditanyakan "sekurang - kurangnya 1"...

3. Seorang siswa diminta mengerjakan 7 soal dari 10 soal yang teredia, dengan syarat nomor 1 sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Berapa banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa tersebut?
Berarti siswa hanya memilih 2 dari 5 soal yang tersedia (sisa dari wajib dikerjakan 5 soal)..


4. Dari 7 siswa putra dan 5 siswa putri akan dipilih 6 siswa untuk dikirim ke Jepang dalam rangka pertukaran siswa. Berapa banyak pilihan berbeda dapat diperoleh jika :
1. tidak ada pembatasan
2. dipilih 4 putra dan 2 putri
3. paling sedikit ada dua putri
tidak ada pembatasan :..

dipilih 4 putra dan 2 putri :...

paling sedikit ada dua putri..berarti 2 putri 4 putra, 3 putri 3 putra, 4 putri 2 putra, 5 putri 1 putra...


5. Pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 6 kali, ada berapa banyak :
1. sisi gambar muncul 3 kali
2. sisi gambar muncul 4 kali atau lebih
dengan menggunakan segitiga Pascal maka muncul sisi gambar 3 kali adalah 20 kali
dengan menggunakan segitiga Pascal maka muncul sisi gambar 4 kali atau lebih adalah 22 kali

6. How many triangles can be formed from 10 point where no 3 point are colinear?


7. Find the number of different arrangements of money : Rp 500, Rp 1000, Rp 20.000.....


8. Berapa banyak diagonal yang terdapat pada segi 5 ?


5. Binomium Newton
Penjabaran bentuk (x +y)ⁿ melibatkan konsep kombinasi, seperti berikut ini :

Dari penjabaran binom Newton diatas :
suku ke 1 : C₀ⁿxⁿy⁰
suku ke (r + 1) :

Misal suku ke 4 berarti r = 3..
Lihat beberapa contoh soal berikut ini :

1. Tentukan suku ke enam dari :


suku ke enam berarti r = 5



2. Koefisien dari x¹² dari perpangkatan (3x² + x)⁷ adalah....

karena r = 2 maka :

dari nilai di atas maka koefisien dari x¹² adalah 5103..

3. Pada penjabaran binom (5 + 2x)ⁿ dengan n bilangan asli, diketahui bahwa koefisien suku x² sama dengan dua kali koefisien suku x untuk n = ...
kita mencari koefisien suku x²...

kita mencari koefisien suku x

koefisien suku x² sama dengan 2 kali koefisien suku x :

Peluang suatu kejadian dan komplemennya

1. Ruang Sampel Percobaan
Ruang sampel dinotasikan dengan S. Banyaknya anggota atau unsur dalam ruang sampel dinotasikan dengan n(S) atau n. Titik sampel atau titik contoh adalah unsur - unsur yang terletak di dalam ruang sampel..
Lihat contoh beberapa soal berikut ini :

1. Pada pelemparan dua buah uang logam, tentukan hasil yang mungkin diperoleh dengan cara :
1. diagram pohon
2. tabel
diagram pohon..


Ruang sampel : S = {(G, G), (G, A), (A, G), (A, A)}
Titik sampel : (G, G), (G, A), (A, G), (A, A)
Banyak titik sampel : n(S) = 4 dapat dicari dengan cara 2²
dengan tabel


Ruang sampel : S = {(G, G), (G, A), (A, G), (A, A)}
Titik sampel : (G, G), (G, A), (A, G), (A, A)
Banyak titik sampel : n(S) = 4 dapat dicari dengan cara 2²

2. Tentukan ruang sampel dari pelemparan tiga mata uang logam dengan tabel
tabel I (uang logam 1 dan uang logam 2)

tabel II (hasil awal dan uang logam 3)


2. Peluang Suatu Kejadian
Penentuan peluang suatu kejadian dapat dilakukan dalam 3 cara :

1. pendekatan frekuensi relatif atau nisbi
2. pendekatan definisi peluang klasik
3. penggunakan ruang sampel
Penentuan peluang dengan pendekatan frekuensi relatif Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali. Jika kejadian acak A muncul sebanyak k kali, maka frekuensi relatif kejadian A ditentukan oleh formula :

Contoh soal :

1. Sebuah dadu dilempar 50 kali. Tabel berikut menunjukkan hasil pelemparan tersebut kemudian tentukan frekuensi relatif ,muncul mata dadu bilangan prima..




Penentuan peluang dengan definisi peluang klasik Misalkan kejadian A dapat terjadi dalam k cara dari keseluruhan n cara yang mempunyai kemungkinan sama, maka peluang kejadian A ditentukan oleh :

Contoh soal :

1. Sebuah kantong berisi 6 bola biru, 4 putih, dan 8 merah. Apabila 3 bola diambil secara acak, hitunglah peluang bahwa yang terambil :
1. semua biru
2. semua merah
3. 2 putih dan 1 biru
4. satu dari setiap warna
5. bola dalam urutan biru, putih, merah
diambil 3 bola biru :

diambil 3 bola merah :




cara lain soal e :


Penentuan peluang dengan ruang sampel Dalam suatu percobaan acak, bila kejadian - kejadian mempunyai kesempatan yang sama, maka peluang dari kejadian A ditentukan oleh :

Contoh soal :

1. Dua buah dadu bermata enam dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Hitunglah nilai peluang, kejadian - kejadian berikut ini :
1. kejadian mumcul jumlah kedua mata dadu adalah 7
2. kejadian muncul jumlah kedua mata dadu adalah 5
3. kejadian muncul mata dadu kedua - duanya genap
ruang sampel dua dadu :

Berdasarkamn sampel tersebut diperoleh n (S)= 6 × 6 = 36
muncul jumlah kedua mata dadu 7 :

muncul jumlah kedua mata dadu 5 :

muncul mata dadu kedua - duanya genap :

3. Kisaran Nilai Peluang
0 ≤ P(A) ≤ 1
Nilai P(A) = 0 disebut peluang kemustahilan. Nilai P(A) = 1 disebut peluang kepastian..
Contoh soal :

1. Sebuah kotak berisi 5 bola merah. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak itu. Berapa peluang terambil bola berwarna merah dan berapa peluang terambil bola berwarna hijau?
Misal A adalah kejadian terambilnya bola berwarna merah dan B adalah kejadian terambilnya bola berwarna hijau, maka P(A) = 1 dan P(B) = 0

Peluang komplemen suatu kejadian
Berdasarkan definisi peluang berdasarkan ruang sampel dapat dituliskan :

Contoh soal :

1. Peluang A memenangkan pertandingan catur melawan B adalah ⅓. Peluang bahwa A akan memenangkan paling sedikit satu dari 3 pertandingan itu adalah....
Anggap ketiga pertandingan kalah semua....maka peluang ketiga pertandingan kalah adalah..

Maka peluang paling sedikit satu dari 3 pertandingan..:


2. Dalam pemilihan direktur pada sebuah kantor ada tiga calon A, B, dan C. Jika rasio A akan menang adalah 7 : 5, rasio B akan menang adalah 1 : 3, maka rasio C akan menang adalah....


Peluang A atau B akan menang :

Peluang C akan menang = Peluang A atau B akan kalah...sehingga :


4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Contoh soal :

1. Bila tidak hujan, seorang penjual es campur mendapat untung Rp 50.000 sehari. Bila hujan maka ia akan rugi Rp 12.000. Bila peluang hujan suatu hari adalah P(A) = ¼, maka keuntungan yang dpat diharapkan pada hari itu sama dengan...

Peluang kejadian majemuk

1. Menghitung Peluang Gabungan Dua Kejadian
Misal A dan B adalah dua kejadian sembarang yang terdapat dalam ruang contoh S, maka peluang kejadian A ∪ B sama dengan..

Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, maka peluang gabungan dua kejadian itu sama dengan :

Dua kejadian yang saling bebas jika muncul atau tidak munculnya kejadian A tidak terpengaruh oleh muncul atau tidak munculnya kejadian B, atau sebaliknya....
Kejadian A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika :

Pada dua kejadian acak A dan B, peluang terjadinya kejadian B pada waktu kejadian A telah terjadi disebut kejadian bersyarat terjadi B pada waktu A terjadi, dan dinotasikan : P(B|A)..
Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul ditentukan oleh :

Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul ditentukan oleh :

Contoh soal :

1. Hasil survey yang dilakukan pada suatu wilayah terhadap kepemilikan mobil dan sepeda diperoleh data sebagai berikut :
   10% penduduk tidak memiliki mobil
   40% penduduk memiliki sepeda,
   5 % tidak memiliki mobil tetapi memiliki sepeda
   Kalau dari wilayah itu diambil satu orang secara acak, berapa peluang ia memiliki mobil tetapi tidak memiliki sepeda?
2. Bila P(A) = 0,70, P(B) = 0,75, dan P(A ∪ B) = 0,90, hitunglah P (A ∩ B) dan P(A ∩ B')..
3. Kotak I berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Kotak II berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Bila sebuah bola diambil dari masing - masing kotak, tentukanlah peluang bahwa :
   
   1. kedua bola berwarna putih
   2. kedua bola berwarna hitam
4. Diketahui A dan B dua kejadian yang saling bebas, Peluang kejadian A dan B adalah ⅛ dan peluang kejadian bukan A dan bukan B adalah ⅜. Hitunglah P(A) dan P(B)..
5. Misalkan peluang luluas UAN dari A,B, dan C masing - masing adalah ¾, ⅔, dan ⅔. Hitunglah setiap peluang berikut :
   
   1. peluang ketiganya lulus UAN
   2. peluang hanya 2 orang yang lulus UAN
   3. peluang paling sedikit 1 orang lulus UAN