Sabtu, 04 Mei 2013

Statistika

Data Tunggal
Ukuran Pemusatan Data
  • Rataan hitung




  • Apabila setiap data awal mengalami perubahan misal dengan setiap data dikali dengan p dirambah p maka rataannya menjadi :
    pX1+q, pX2+q,... pXn+q
    Jumlah data : p(X1+ X2+ ...Xn) + nq dimana n = banyak data



  • Rataan geometris

  • Rataan harmonis

  • Rataan kuadratis

  • Rataan harmonis ≤ rataan geometris ≤ rataan hitung
  • Median
  • Median : nilai tengah data setelah diurutkan.
    1. Jika ukuran data n ganjil,maka mediannya :

    2. Jika ukuran data n genap, maka mediannya :

  • Modus
  • Modus : nilai yang paling sering muncul
Ukuran Letak Kumpulan Data
  • Kuartil
  • Membagi data menjadi empat bagian sama banyak setelah diurutkan. Kuartil ada tiga, yaitu :
    Kuartil bawah (Q1), kuartil tengah/median (Q2), kuartil atas (Q3)
    Misalkan X1, X2,...Xn adalah data berukuran n yang telah diurutkan. Qm adalah kuartil yang dicari, dengan m = 1,2,3. Menentukan Qm :
    1. Hitunglah ¼ nm
    2. Jika ¼ nm merupakan bilangan bulat, misalkan a, maka Qm = ½(Xa + Xa + 1), yaitu Qm terletak antara Xa dan Xa + 1
    3. Jika ¼ nm bukan bilangan bulat tapi terletak antara bilangan bulat a dan a + 1, maka Qm = Xa + 1
  • Statistik lima serangkai
  • Dari suatu data terurut X1, X2,...Xn dapat ditentukan :
    1. datum yang nilainya terkecil = Xmin = X1 disebut juga statistik minimum.
    2. datum yang nilainya terbesar = Xmaks = Xn disebut juga statistik maksimum .
    3. median = Q2
    4. kuartil pertama = Q1
    5. kuartil ketiga = Q3
    Gabungan dari kelima statistik di atas disebut statistik lima serangkai dan ditampilkan dalam tabel berikut :
    tabel statistik lima serangkai
  • Rataan kuartil dan rataan tiga
  • Rataan kuartil :

    Rataan tiga :

  • Desil
  • Desil adalah datum yang membagi data terurut menjadi sepersepuluh - sepersepuluh bagian.
    D1 disebut desil pertama, sebanyak 10% data bernilai lebih kecil atau sama dengan D1
    Misalkan X1, X2,...Xn adalah data berukuran n yang telah diurutkan dengan Dm adalah hasil yang dicari, dengan m = 1,2,...,9
    Menentukan Dm :
    1. Hitunglah :
    2. Jika merupakan bilangan bulat, misalkan a maka
    3. Jika bukan bilangan bulat,tapi terletak antara bilangan bulat a dan a +1, maka
Ukuran Penyebaran Data
  • Jangkauan data (range data)
  • Nilai yang diperoleh jika nilai data terbesar di kurangi nilai data terkecil. Semakin besar jangkauan maka penyebaran data semakin tinggi.

    Apabila setiap data awal mengalami perubahan, semisal setiap data dikali p kemudian dikurangi q, maka hubungan jangkauan awal dengan jangkauan akhir adalah sebagai berikut :
    pX1 -q, pX2 -q,...pXn -q

    J1= jangkauan awal data
    J2= jangkauan kedua data setelah mengalami perubahan
    1. Jangakauan antar kuartil (hamparan)

    2. Jangkauan semi antar kuartil (simpangan kuartil)

    3. Langkah

    4. Pagar dalam

    5. Pagar luar

    6. Untuk setiap data yang terletak di antara batas - batas pagar dalam dan pagar luar Q1 - L ≤ Xi ≤ Q3 + L merupakan nilai data yang normal. Untuk setiap data yang kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar merupakan data yang tak normal (pencilan).
  • Simpangan (deviasi) rata - rata
  • ukuran penyebaran data yang mencerminkan penyebaran tiap nilai datum terhadap nilai rataan hitungnya..

    Apabila setiap data awal mengalami perubahan, semisal setiap data dikali p kemudian ditambah q, maka hubungan simpangan rata - rata awal dengan simpangan rata - rata akhir adalah sebagai berikut :
    Rataan yang kita pakai :




  • Ragam dan Simpangan Baku
  • Menjelaskan penyebaran data di sekitar rataan, karena rataan adalah nilai yang mewakili data dan menjadi fokus utama.

    Rumus praktis Ragam :


    Untuk setiap data dengan ragam (S1)² jika setiap data dikalikan p kemudian ± q maka ragamnya ,menjadi :

    Simpangan baku :

    Untuk setiap data dengan simpangan baku S1, jika setiap data dikalikan p kemudian ± q maka simpangan bakunya menjadi :

Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
  • Diagram Garis
  • diagram garis
  • Diagram Kotak Garis
  • diagram kotak garis
  • Diagram batang daun
  • Misalkan diketahui suatu data : 39 11 12 24 25 44 8 28 15 26 32 21 5 12 24 28 13 21 15 28
    diagram batang daun
  • Histrogram dan poligon frekuensi
  • histogram dan poligon frekuensi
  • Ogif (kurva frekuensi kumulatif)
  • ogif
Data Berkelompok
Distribusi Frekuensi Berkelompok

Istilah - istilah distribusi frekuensi berkelompok yang perlu dipahami:
  • Kelas
  • Kelas 65 - 67 mencakup data dari 65 sampai dengan 67
  • Batas kelas
  • Kelas pertama 65 - 67, batas bawahnya 65 dan batas atasnya 67.
  • Tepi kelas
  • Tepi bawah = batas bawah - 0,5
    Tepi atas = batas atas + 0,5
    Kelas pertama 65 - 67, tepi bawahnya 65 - 0,5 = 64,5, tepi atasnya 67 + 0,5 = 67,5
  • Panjang kelas/lebar kelas/interval kelas
  • Panjang kelas = tepi atas - tepi bawah
  • Titik tengah kelas/ nilai tengah kelas
  • Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah)
Cara membuat Daftar Distribusi frekuensi data berkelompok :
  1. Tentukan jangkauannya J = Xmaks - Xmin
  2. Tentukan banyak kelas, menggunakan kaidah empiris sturgess k = 1 + 3,3 log n, dengan k = banyak kelas dan n = banyak data
  3. Tentukan panjang kelas

  4. Dengan menggunakan panjang kelas yang diperoleh pada step 3, tetapkanlah kelas - kelasnya sedemikian sehingga mencakup semua nilai data.
  5. Tentukanlah frekuensi tiap kelas dengan system turus
Menyusun Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif :
Ada dua macam daftar distribusi frekuensi kumulatif, yaitu :
  1. daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari
  2. daftar distribusi frekuensi kumulatif lebih dari
Contoh diketahui tabel seperti di bawah ini :

Kemudian tambahkan lajur tepi bawah dan lajur tepi atas pada tabel tersebut

Setelah itu susun daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari


Dari daftar frekuensi kumulatif kurang dari kita buat ogif positif

Dari daftar frekuensi kumulatif lebih dari kita buat ogif negatif

Ukuran Pemusatan Data
  • Rataan hitung





  • Menghitung rataan dengan menggunakan rataan sementara :
    1. cara simpangan rataan



    2. cara pengkodean (coding)



  • Modus

  • L = tepi bawah frekuensi modus
    δ1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
    δ2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
    c = panjang kelas
  • Median / kuartil tengah

  • L2 = tepi bawah kelas yang memuat median atau kuartil tengah Q2
    (∑f)2 = jumlah frekuensi sebelum median atau kuartil tengah Q2
    f2 = frekuensi kelas yang memuat median atau kuartil tengah Q2
Ukuran Letak Kumpulan Data

  • Kuartil bawah

  • L1 = tepi bawah yang memuat kuartil bawah Q1
    (∑ f)1 = jumlah frekuensi sebelum kuartil bawah Q1
    f1 = frekuensi kelas yang memuat kuartil bawah Q1
  • Kuartil atas

  • L3 = tepi kelas yang memuat kuartil atas Q3
    (∑ f)3 = jumlah frekuensi sebelum kuartil atas Q3
    f3 = frekuensi kelas yang memuat kuartil atas Q3
  • Desil

  • i = 1,2,3,....9
    Di = desil ke i
    Li = tepi bawah yang memuat desil ke i
    (∑ f)i = jumlah frekuensi sebelum desil ke i
    fi = frekuensi kelas yang memuat desil ke i
    n = banyak data
    c = panjang kelas
  • Persentil
  • Hubungan antara persentil, desil, dan kuartil sebagai berikut :
    P50 = D5 = Q2 = median
    P25 = Q1 dan P75 = Q3

    i = 1,2,3,...99
    Pi = persentil ke i
    Li = tepi bawah kelas yang memuat persentil ke i
    (∑ f)i = jumlah frekuensi sebelum persentil ke i
    fi = frekuensi kelas yang memuat persentil ke i
    n = banyak data
    c = panjang kelas
Ukuran Penyebaran Data
  • Jangkauan antar kuartil/ rentang antar kuartil/ hamparan

  • Simpangan kuartil/ jangkauan semi antar kuartil

  • Simpangan rata - rata

  • n = banyak data
    fi = frekuensi kelaske i
    xi = titik tengah kelas i
    r = banyak kelas
  • Ragam dan Simpangan baku


  • n = banyak data
    fi = frekuensi kelas ke i
    xi = titik tengah kelas ke i
    r = banyak kelas
    Rumus praktis dengan pengkodean :


Latihan Soal dan Pembahasannya
  1. Suatu data memiliki rata - rata 5 dan rentang 4. Jika setiap nilai dalam data dikalikan dengan p, kemudian ditambah dengan q didapat data baru dengan rata - rata 19 dan rentang 12. Nilai dari 3p - q =....
  2. Perhatikan tabel berikut :
  3. Nilai Ujian3456789
    Frekuensi
    3
    5
    12
    17
    14
    6
    3
    Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata - rata matematika ditambah 1. Tentukan banyak siswa yang lulus..
  4. Umur rata - rata dari suatu kelompok yang terdiri dari dokter dan jaksa adalah 40 tahun. Jika rataan umur para dokter 35 tahun dan rataan umur para jaksa 50 tahun maka perbandingan banyak jaksa dan banyak dokter adalah....
  5. Kumpulan dari empat angka memiliki mean 2 dan simpangan baku √2. Kumpulan dari enam angka lainnya memiliki mean 6 dan simpangan baku √5. Jika kedua kumpulan angka digabung, hitung mean dan simpangan baku dari kumpulan data yang baru..
  6. Apabila sejumlah a data mempunyai variansi sampel 20, (a + b) data mempunyai variansi sampel 30, serta b data mempunyai variansi sampel 50, tentukan perbandingan antara a dan b !
  7. Tinggi badan (dalam cm) dari 14 orang siswa kelas 11 B adalah :
  8. 173 132 192 178 181 189 184 145 171 169 166 154 175 163
    Buatlah diagram kotak garis data tinggi badan siswa kelas 11 B
  9. Nilai ulangan matematika disajikan pada tabel berikut. Jika median = 73⅙, tentukan :
  10. Nilaifrekuensi
    45 - 52
    53 - 60
    61 - 68
    69 - 76
    77 - 84
    85 - 92
    93 - 100
    2
    4
    x
    12
    8
    6
    y
    Jika frekuensi totalnya 40 , tentukan :
    1. x dan y
    2. batas nilai terendah bila hanya 10 % yang dianggap lulus
    3. banyak siswa yang tidak lulus, bila batas nilai yang dianggap lulus > 57
  11. Perhatikan tabel berikut
  12. NilaiFrekuensi
    66 - 70
    71 - 75
    76 - 80
    81 - 85
    86 - 90
    91 - 95
    96 - 100
    3
    12
    x
    36
    24
    y
    9
    1. Jika modus = 83, maka hitunglah x dan y
    2. Tentukan statistik lima serangkai dan bagannya
  13. Hitung simpangan baku dari data berkelompok berikut ini :
  14. Panjang (mm)Banyak datum
    35 - 39
    40 - 44
    45 - 49
    50 - 54
    55 - 59
    60 - 64
    1
    4
    12
    23
    7
    3

  15. Tentukan Median dan kuartil dari data yang dinyatakan dengan poligon frekuensi kumulatif berikut :

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar