belajar matematika dan fisika

Laman

beranda
KSJ A X
KSJ A XI
KSJ A XII
KSJ M X
TO UN FIS
TO UN Mat
UTS/UAS
KIsi - Kisi UN
Members
Video Fisika

Sabtu, 29 Juni 2013

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Bentuk Pangkat

Pangkat bulat Positif

Sifat - sifat Bilangan dengan pangkat bulat positif

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m}:a^{n}=a^{m-n}\ atau \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},a\neq 0\ dan\ m> n$

$\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$

$\left ( a^{m}.b^{n} \right )^{p}=a^{mp}.b^{np}$

$\left ( \frac{a^{m}}{b^{n}} \right )^{p}=\frac{a^{mp}}{b^{np}}$

Notasi ilmiah bilangan besar

$a\times 10^{n}\ dengan\ 1\leq a< 10$

Pangkat nol

$a^{0}=1\ dimana\ a\neq 0$

Pangkat bulat negatif

$\small a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\ atau\ a^{n}=\frac{1}{a^{-n}}$

$a\times 10^{-n}\ dengan\ 1\leq a< 10$

Bentuk Akar

Himpunan Bilangan Rasional

jika m habis dibagi n, maka m/n adalah bilangan bulat
jika m tidak habis dibagi n, maka m/n adalah bilangan pecahan

Bentuk desimal berulang dari bilangan rasional

$\frac{2}{3}=0,6666....=0,\bar{6}$

Himpunan bilangan irasional

Bentuk akar

$\sqrt[n]{a}$

$\sqrt[n]{a}\ adalah\ akar\ pangkat\ n\ yang\ positif\ dari\ a, dengan\ a> 0$

$\sqrt[n]{0}=0$

Menyederhanakan bentuk akar

$\sqrt[n]{a^{n}}=a, jika\ n\ \epsilon \ ganjil$
$\sqrt[n]{a^{n}}=\left | a \right |, jika\ n\ genap$
$\sqrt[n]{a^{mn+p}.b^{q}}=\sqrt[n]{a^{mn}.a^{p}.b^{q}}=a^{m}\sqrt[n]{a^{p}.b^{q}}$

$\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
$\sqrt[m]{a^{n}}=\left ( \sqrt[m]{a} \right )^{n}$

Operasi aljabar pada bentuk akar

Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

$a\sqrt[n]{c}+b\sqrt[n]{c}=\left ( a+b \right )\sqrt[n]{c}$
$a\sqrt[n]{c}-b\sqrt[n]{c}=\left ( a-b \right )\sqrt[n]{c}$

Perkalian bentuk akar

$x\sqrt[n]{a}\times y\sqrt[n]{b}=xy\sqrt[n]{ab}$
$\left ( a\sqrt[n]{b} \right )^{n}=a^{n}b$
$\small \sqrt{a}\times \sqrt{a}=a$
$x\sqrt[m]{a}\times y\sqrt[n]{b}=xy\sqrt[mn]{a^{n}b^{m}}$

Rumus - rumus perkalian istimewa

ⁿ

(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
(a + b)(a⁴ - a³b +a²b² - ab³ + b⁴) = a⁵ + b⁵
(a + b)(a³ - a²b +ab² - b³) = a⁴ - b⁴
(a - b)(a² +ab +b²)= a³ - b³
(a - b)(a³ +a²b +ab² + b³) = a⁴-b⁴

Akar dari suku dua yang kedua sukunya merupakan bentuk akar

$\sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+p}{2}}+\sqrt{\frac{a-p}{2}}$

$p=\sqrt{a^{2}-\left ( b\sqrt{c} \right )^{2}}$

$\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+p}{2}}-\sqrt{\frac{a-p}{2}}$

$p=\sqrt{a^{2}-\left ( b\sqrt{c} \right )^{2}}$

Merasionalkan penyebut pecahan

$\frac{a}{\sqrt{b}}$

$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$

$\frac{c}{a\pm \sqrt{b}}$

$\frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}\times \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a^{2}-b}\left ( a-\sqrt{b} \right )$

$\frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}\times \frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a^{2}-b}\left ( a+\sqrt{b} \right )$

$\frac{c}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}$

$\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-b}\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )$

Hubungan pangkat pecahan dan bentuk akar

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}=\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{m}=\left ( a^{m} \right )^{\frac{1}{n}}=\left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^{m}$

$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{m}}$

Persamaan pangkat sederhana

$a^{f(x)}=a^{p}\Rightarrow f(x)=p$

Latihan soal dan pembahasannya

Sederhanakan bentuk - bentuk berikut ini

$\left ( \frac{3x^{2}y^{3}}{2ab^{4}} \right )^{6}.\left ( \frac{16a^{3}b^{6}}{27xy^{3}} \right )^{2}$
$\frac{2^{n+1}-2^{n}}{2^{n}+2^{n-1}}$

untuk soal a kita ubah dulu bentuknya...
${\color{Blue} \frac{3^{6}.x^{12}.y^{18}}{2^{6}.a^{6}.b^{24}}\times \frac{2^{8}.a^{6}.b^{12}}{3^{6}.x^{2}.y^{6}}}$
${\color{Blue} \frac{4x^{10}y^{12}}{b^{12}}}$
untuk soal b kita jabarkan kemudian faktorkan...
${\color{Blue} \frac{2^{n}.2-2^{n}}{2^{n}+2^{n}.2^{-1}}=\frac{2^{n}\left ( 2-1 \right )}{2^{n}\left ( 1+2^{-1} \right )}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}}$

$\left ( \frac{3a^{6}b^{5}}{81a^{9}b^{2}} \right )^{-1}$

pangkat dibuat positif dibuat dengan cara menukar posisi pembilang dan penyebut (cara cepat)
${\color{Blue} \frac{81a^{9}b^{2}}{3a^{6}b^{5}}=\frac{27a^{3}}{b^{3}}=\left ( \frac{3a}{b} \right )^{3}}$

$\frac{1}{1+a^{n-m}}+\frac{1}{1+a^{m-n}}=...$

samakan penyebutnya, lalu dikalikan silang..
${\color{Blue} \frac{\left ( 1+a^{m-n} \right )+\left ( 1+a^{n-m} \right )}{\left ( 1+a^{n-m} \right )\left ( 1+a^{m-n} \right )}=\frac{2+a^{m-n}+a^{n-m}}{1+a^{m-n}+a^{n-m}+a^{0}}}$
${\color{Blue} \frac{2+a^{m-n}+a^{n-m}}{2+a^{m-n}+a^{n-m}}=1}$

Sederhanakan dan tuliskan dalam bentuk pangkat bulat positif!

$\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-1}b-ab^{-1}}$

pertama kita jadikan pecahan bersusun...
${\color{Blue} \frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{\frac{b}{a}-\frac{a}{b}}\times \frac{ab}{ab}=\frac{b-a}{b^{2}-a^{2}}=\frac{b-a}{\left ( b-a \right )\left ( b+a \right )}=\frac{1}{b+a}}$
ab merupakan KPK dari penyebut pecahan bersusun (a dan b)

$x-\frac{1}{x}=3,maka\ x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=...$

${\color{Blue} \left ( x-\frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}-2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}}$
${\color{Blue} x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left ( x-\frac{1}{x} \right )^{2}+2=\left ( 3 \right )^{2}+2=11}$

Jika pqr = 1 maka :

$\frac{1}{1+p+q^{-1}}+\frac{1}{1+q+r^{-1}}+\frac{1}{1+r+p^{-1}}=...$

${\color{Blue} \frac{1}{1+p+q^{-1}}\times \frac{q}{q}+\frac{1}{1+q+r^{-1}}+\frac{1}{1+r+p^{-1}}}$
${\color{Blue} \frac{q}{q+pq+1}+\frac{1}{1+q+r^{-1}}+\frac{1}{1+r+p^{-1}}}$
pq = r^-1
${\color{Blue} \frac{q+1}{1+q+r^{-1}}\times \frac{r}{r}+\frac{1}{1+r+p^{-1}}}$
${\color{Blue} \frac{qr+r}{r+qr+1}+\frac{1}{1+r+p^{-1}}}$
qr = p^-1
${\color{Blue} \frac{qr+r+1}{1+r+qr}=1}$

Nilai dari : (14a + 8b)⁰..

fungsi pangkat nol nilainya pasti 1, tapi tidak boleh 0⁰

Bentuk sederhana dari :

$\left ( \frac{8x^{2}y^{-4}}{125x^{-1}y^{2}} \right )^{\frac{2}{3}}$

bilangan yang ada di dalam kurung dijadikan bilangan berpangkat..
${\color{Blue} \left ( \frac{2^{3}x^{2}y^{-4}}{5^{3}x^{-1}y^{2}} \right )^{\frac{2}{3}}=\frac{2^{2}x^{\frac{4}{3}}y^{-\frac{8}{3}}}{5^{2}x^{-\frac{2}{3}}y^{\frac{4}{3}}}=\frac{4}{25}x^{2}y^{-4}}$

Hitunglah nilai dari :

$\frac{25^{\frac{1}{2}}-8^{-\frac{2}{3}}}{81^{-\frac{1}{4}}}$

bilangan dijadikan bentuk pangkat..
${\color{Blue} \frac{\left ( 5^{2} \right )^{\frac{1}{2}}-\left ( 2^{3} \right )^{-\frac{2}{3}}}{\left ( 3^{4} \right )^{-\frac{1}{4}}}=\frac{5-2^{-2}}{3^{-1}}=\frac{5-\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}=\frac{19}{12}}$

Tentukan nilai dari :

$-4^{-2^{-1}}$

${\color{Blue} -4^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}=-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{32x^{5}y^{5}}$

${\color{Blue} \sqrt[3]{2^{3}2^{2}x^{3}x^{2}y^{3}y^{2}}=2xy\sqrt[3]{4x^{2}y^{2}}}$

Sederhanakan :

$\sqrt[5]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}$
$\sqrt[5]{2x\sqrt[3]{x^{2}\sqrt{3x}}}$

jawab a dengan cara cepat...
${\color{Blue} \sqrt[5.3.2]{x^{3.2}x^{1.2}x^{1}}=\sqrt[30]{x^{6+2+1}}=\sqrt[30]{9}=\sqrt[10]{3}}$
jawab b dengan cara cepat...
${\color{Blue} \sqrt[5.3.2]{2^{3.2}.x^{3.2}.x^{2.2}.3.x^{1}}=\sqrt[30]{2^{6}.3.x^{6+4+1}}=\sqrt[30]{64.3.x^{11}}=\sqrt[30]{192.x^{11}}}$

$\sqrt{147}-\sqrt{48}+\sqrt{27}=...$

${\color{Blue} \sqrt{7^{2}.3}-\sqrt{2^{4}.3}+\sqrt{3^{2}.3}=7\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=6\sqrt{3}}$

Tuliskan dalam bentuk akar yang paling sederhana

$\left ( 5\sqrt{8}-2\sqrt{10} \right )^{2}$

${\color{Blue} \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2.a.b+b^{2}}$
${\color{Blue} \left ( 5\sqrt{8}-2\sqrt{10} \right )^{2}=25.8-2.5\sqrt{8}.2\sqrt{10}+4.10}$
${\color{Blue} \left ( 5\sqrt{8}- 2\sqrt{10} \right )^{2}=240 - 80\sqrt{5}}$

Nyatakan bilangan - bilangan berikut ini dalam bentuk ( √a + √b ) atau ( √a - √ b )

$\sqrt{5+\sqrt{24}}$
$\sqrt{7-2\sqrt{12}}$
$\sqrt{5+\sqrt{21}}$

Logaritma

$a^{b}=c\ jika\ dan\hanya\ jika\ log_{a}c = b$

a dinamakan bilangan pokok logaritma (basis). dengan a > 0 dan a ≠ 1
c dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan c > 0
b dinamakan hasil logaritma

$log_{a}1=0$
$log_{a}a = 1$
$log_{a}a^{n} = n$
$a^{log_{a}b}=b$

$log_{a}\left ( bc \right )=log_{a}b\ +log_{a}c$
$log_{a}\left (\frac{b}{c} \right )= log_{a}b\ - log_{a}c$
$log_{a}b^{n}=n.log_{a}b$
$log_{a^{n}}b^{m}=\frac{m}{n}.log_{a}b$
$log_{a^{n}}b^{n}=log_{a}b$
$log_{a}b\times log_{b}c=log_{a}c$
$log_{a}b=\frac{log_{p}b}{log_{p}a}$

Diposting oleh hwh di 15.38 11 komentar:

Kirimkan Ini lewat Email BlogThis!Berbagi ke Twitter Berbagi ke Facebook Bagikan ke Pinterest

Postingan Lebih Baru Postingan Lama Beranda

Langganan: Postingan (Atom)

Jenius adalah 1 % logika dan 99% ketekunan. Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika kesempatan bertemu dengan kesiapan..

Arsip Blog

▼ 2013 (16)
- ► Agustus (1)
- ► Juli (2)
- ▼ Juni (4)
- ► Mei (1)
- ► April (1)
- ► Maret (1)
- ► Februari (2)
- ► Januari (4)

► 2012 (7)
- ► Desember (7)

Entri Populer

Grafik Fungsi Trigonometri

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Sinus dan Cosinus Jadi, Jadi, -1 ≤ cos α° ≤ 1 untuk tiap α ∈ R tan α° tidak mempunyai nilai maksi...
Pengukuran dan Ketidakpastian

Besaran Fisis dan Dimensinya Kegunaan dimensi : menentukan kesetaraan dua buah satuan menentukan ketepatan suatu persamaan (benar atau...
Energi dan Daya Listrik

Jika suatu hambatan dialiri oleh arus listrik, hambatan tersebut menjadi panas karena tumbukan antara muatan yang mengalir dengan elektron k...
Menggambar Bangun Ruang

Beberapa istilah dalam menggambar bangun ruang : Bidang gambar Bidang gambar adalah suatu bidang sebagai tempat untuk menggambar Bidang ...
Suhu dan Kalor (Temperature and Heat)

Konversi Suhu Pemuaian Masalah - masalah yang ditimbulkan akibat pemuaian : Rel kereta api dan jembatan beton melengkung Ka...
Listrik Dinamis

Arus Listrik Arus listrik didefinisikan sebagai aliran partikel - partikel bermuatan listrik positif yang mengalir dari titik berpotensial ...
Peralatan Optik (Optical Instruments)

Mata dan Kacamata Titik dekat dan titik jauh mata Daya akomodasi yang dikendalikan oleh otot siliar memiliki kemampuan terbatas. Ketika le...
Trigonometri (I)

Pengukuran Sudut Ukuran Sudut dalam Derajat 1° adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran 1/360 keliling lingkaran. Ukuran S...
Statistika

Data Tunggal Ukuran Pemusatan Data Rataan hitung Apabila setiap data awal mengalami perubahan misal dengan setiap data dikali deng...
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Bentuk Pangkat Pangkat bulat Positif Sifat - sifat Bilangan dengan pangkat bulat positif Notasi ilmiah bilangan besar Bilangan ...

Page views

Mengenai Saya

hwh: Pengajar privat matematika dan fisika

Lihat profil lengkapku

Avril Lavigne - Wish You Were Here (Original)

Avril Lavigne - What The Hell

Pink - Just Give Me A Reason (ft. Nate Ruess)

fun. - We Are Young ft. Janelle Monae

Taylor swift -22

Christina Perri - A Thousand Years

One Direction - More Than This

pitbull ft.christina aguilera - feel this moment

Rita Ora - How We Do (Party)

Feat. Britney Spears - Scream And Shout (Clean)

Tema Sederhana. Diberdayakan oleh Blogger.